要计算 \(\sin{105^\circ}\) 的值，我们可以使用三角恒等式或角度和差公式。首先，我们知道 \(105^\circ = 60^\circ + 45^\circ\)，这使我们能够利用已知的特殊角（\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)）的正弦值来解决问题。

根据正弦的和差公式，我们有：

\[

\sin{(A+B)} = \sin{A}\cos{B} + \cos{A}\sin{B}

\]

将 \(A=60^\circ\) 和 \(B=45^\circ\) 代入上述公式中，得到：

\[

\sin{105^\circ} = \sin{60^\circ}\cos{45^\circ} + \cos{60^\circ}\sin{45^\circ}

\]

我们知道：

- \(\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

- \(\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

- \(\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}\)

- \(\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

因此，

\[

\sin{105^\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

\]

所以，\(\sin{105^\circ} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)。这个结果精确地表示了 \(105^\circ\) 角的正弦值。