当您的银行卡不慎被ATM机吞掉时，不必过于担心，这在日常生活中是较为常见的问题。不过，为了顺利取回您的银行卡，您需要按照一定的流程进行操作。以下是详细的处理步骤：

1. 保持冷静

首先，请保持冷静，不要慌张。银行卡被吞通常是由于机器故障、卡内余额不足或输入错误的密码等原因造成的。大多数情况下，银行会妥善保管被吞的银行卡，并等待您前来领取。

2. 记录信息

请记录下吞卡的时间、地点以及ATM机编号等信息。这些信息对于后续找回银行卡非常重要。

3. 联系银行

尽快联系发卡银行的客服中心。您可以通过拨打银行卡背面的客服电话或登录银行官方网站查询客服联系方式。向客服人员说明情况，提供必要的信息，如吞卡时间、地点和ATM机编号等，以便他们核实您的身份并帮助您解决问题。

4. 领取银行卡

根据银行的规定，您可能需要携带个人有效证件（身份证、护照等）前往指定的网点领取被吞的银行卡。部分银行可能还要求您出示交易凭条或其他证明材料。具体要求请咨询银行工作人员。

5. 修改密码

取回银行卡后，请及时修改银行卡密码，确保账户安全。如果吞卡是由密码错误引起的，更应该立即更改密码。

6. 检查账户状态

最后，建议您检查银行卡关联账户的资金状况，确认没有异常交易发生。如有任何疑问，可再次与银行联系。

通过以上步骤，您可以有效地解决银行卡被吞的问题。希望上述信息对您有所帮助！